GB 4890-1985 数据的统计处理和解释 正态分布均值和方差检验的功效

GB 4890-1985 数据的统计处理和解释 正态分布均值和方差检验的功效的部分内容

1引言

中华人民共和国国家标准

数据的统计处理和解释

正态分布均值和方差检验的功效Statistical interpretation of data -Power of tests relating to means andvariances of normal distributionsUDC 519.28

GB4890—85

1.1本标准是GB4889—85《数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验方法》的继续。

1.21类风险（记为α）是当原假设正确时，被拒绝的概率。Ⅱ类风险（记为8）是当原假设错误时未被拒绝的概率。1一β即是检验的功效。1.8I类风险和Ⅱ类风险是由当事者根据各类风险可能引起的后果来选定。通常取α=0.05或0.01。

1.4检验的操作特性曲线表示Ⅱ类风险β与备择假设的参数之间的函数关系。β还依赖于I类风险所选取的值、样本大小以及检验是单侧的还是双侧的。1.5检验的操作特性曲线可以解决如下的问题问题1.当已知备择假设和样本大小时，确定Ⅱ类风险β的值。问题2.当已知备择假设和β值时，确定所应选取的样本大小。为解决上述问题，在图1至图32中给出两组曲线。图1，图4，图7，图10，图13，图15，图17，图19，图21，图23，图25，图27，图29和图31，分别对于α=0.05和0.01以及不同的样本大小，给出β与备择假设之间的函数关系。图2，图3，图5，图6，图8，图9，图11，图12，图14，图16，图18，图20，图22，图24，图26，图28，图30和图32，分别对于α=0.05和0.01以及不同的B值，给出所需样本大小与备择假设之间的函数关系。

1.6本标准系参照国际标准ISO3494《数据的统计解释一均值和方差检验的功效》（1976年第版）制订的。

2均值与给定值的比较（方差已知）参见GB4889一85《数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验方法》的表1。2.1符号

n：样本大小

：总体均值，

uo：给定值：

q：总体的标准差。

2.2检验的假设

对于双侧检验，原假设为μ=μo，备择假设为μμo。对于单侧检验：

国家标准局1985-01-29发布

1985-10-01实施

或者，

GB 4890--85

原假设为o，备择假设为o

原假设为μ>μ，备择假设为<μo。2.3问题1给定n，确定β

对于双侧检验或单侧检验，当给出值时，首先按下式计算参数的值：A=Jnl u-μo i

然后使用下列各相应的曲线图：图！

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01），

均值比较的单侧检验的操作特性曲线图7

（I类风险α=0.05）1

图10均值比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01）

β为自由度=的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。2.4问题2给定β，确定n

对于双侧检验或单侧检验，当给出u值时，首先按下式计算参数^的值：Jμμ

然后使用下列各相应的曲线图：图2均值与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

均值与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

图8均值与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

图11均值与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）；

n为给定β值的虚直线上，横坐标为入的点的纵坐标。2.5例

某棉纺厂声称他所交付的每批棉纱的平均强力至少等于μ。为2.30N。但是使用方仅同意这样做：在不同的筒子纱上取出一定长度的纱段，按GB 4889一85所述的方法进行单侧检验，取I类风险α=0.05，如果原假设uμ。=2.30N未被拒绝，则接收这批产品，否则拒收。经验证明，该厂生产的各批棉纱的平均强力可能有变化，但是棉纱强力的离散程度可认为不变，其标准差α=0.33N。

2.5.1使用方从每批抽取10个筒子纱进行观察，欲知当平均强力降低到2.10N时，原假设μμp2.30N仍未被拒绝的概率βB。

当μ=2.10N时

=niμμo l

10 (2.30 - 2.10)

使用图7，由=α的直线查得1008=36，所以β=0.36（或36%）。2.5.2使用方认为上述的β值过高，欲选择个适当大小的样本，使β值降低到0.10（或10%）207

当μ=2.10时

GB 4890---85

I μ-μo l

使用图8，由β=0.10的虚直线查得n=22。均值与给定值的比较（方差未知）参考GB4889--85的表2

3.1符号

n：样本大小，

u：总体均值，

uo：给定值

α：（以某个近似值代替的）总体标准差，：自由度。

3.2检验的假设

2.30-2.10

对于双侧检验，原假设为u=μo，备择假设为uo。

对于单侧检验：

原假设为，备择假设为>μ

或者，

原假设为u>μo，

备择假设为u<μo

8.8问题1

给定n，确定B

对于双侧检验或单侧检验，当给出μ值时，首先按下式计算参数入的值：=ynlu-uo

然后使用下列各相应的曲线图：图1

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01），

均值比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

均值比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01）

β为v=n－1的曲线上，横坐标为α的点的纵坐标。3.4问题2给定β，确定n

对于双侧检验或单侧检验，当给出值时，首先按下式计算参数入的值：=

然后使用下列各相应的曲线图：[μ-μo

均值与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线图2

（I类风险α=0.05）

均值与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线图5

（I类风险α=0.01）

均值与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线图8

（I类风险α=0.05），

GB 4890--85

图11均值与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

n为给定β值的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。3.5例

与2.5中的例相同，但使用方不知强力标准差的精确数值，仅凭经验知道在下限值α，=0.30N与F限值αu=0.45N之间。

3.5.1使用方从每批抽取10个筒于纱进行观察，欲知当平均强力降低到2.10N时，原假设μo=2.30N仍未被拒绝的概率β。

当μ=2.10和=0.30时

当μ=2.10和=0.45时

Jniμ-μo

10 (2.30 2.10)

J10 (2.30 ~ 2.10)

使用图7，由9的曲线（用插值法）查得入，与入相应的100β值为40与64，所以下限值β，0.40（或40%），上限值，=0.64（或64%）。3.5.2使用方认为上述β值过高，欲选取一个适当大小的样本，使得即使α=0μ=0.45，β值也不超过0.10（或10%）。

当μ=2.10和o=0.45时

Jμ-μo l

使用图8，由8=0.10的曲线查得n约为45。两个均值的比较（方已知）

参考GB4889-85的表5

4.1符号

样本大小

两个样本均值之差的标准差

4.2检验的假设

2.30-2.10

对于双侧检验，原假设为μ，=μ2，备择假设为μ，丰μ2。对于单侧检验：

或者，

原假设为2备择假设为，μ2

原假设为，μ2，备择假设μ2。4.3问题1

4.3.1给定n和n2，确定8

总体1

总体2

对于双侧检验或单侧检验，当给出u值时，首先按下式计算参数的值：209

然后使用下列各相应的曲线图：图1

GB 4890--85

=lur-uz /

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01）

均值比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

均值比较的单侧检验的操作特性曲线图10

（I类风险α=0.01）

β为自由度=α的曲线上，横坐标为^的点的纵坐标。4.8.2给定nl+n2（=2n），确定最小的β此时，

相应的n，nz为

4.4问题2

α=/2nlut=μ2 l

4.4.1给定β，确定n，和n2（一般情形）g

按照不同的情形使用曲线图1，图4，图7或图10中v=α的曲线，可以得到问题的一般解：先由定出入，然后，适合方程

的曲线上的任一点（n1，n，）都是问题的解。最经济（n与n2的和最小）的样本适合ui-μ2)2

因此取

ni=01 (01+α2)

n2=α2(α→+α2)(

4.4.2给定β，确定n,和n2（特殊情形）在α，==而且n=n=n的特殊情形，对于不同的μμz值，备择假设由参数(0<）决定更为适宜。

对于双侧检验或单侧检验，当给出μ,和μ2值时，首先按下式计算参数入的值：=

然后使用下列各相应的曲线图：I μi - μ2 /

两个均值比较的双侧检验所需样本大小的曲线210

（I类风险α=0.05）

GB 4890 --85

两个哟值比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

两个均值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

两个均值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

几为给定β值的虚直线上，横坐标为入的点的纵坐标。4.5例

某棉纺厂在更改工艺后，声称采用新工艺的平均强力μ2与原工艺的平均强力μ相同，使用方准备接受新工艺，为了证实生产方的声明，从不同的筒子上取出一定长度的纱段，按GB4889一85所述的方法进行双侧检验，取I类风险α=0.05，如果假设μ，=μ2未被拒绝，则接受新工艺。经验表明，该厂所生产的棉纱强力的离散程度可认为不变，其标准差α=0.33N。4.5.1使用方对新、旧工艺各取一批棉纱，从每批中抽取10个管纱进行观察，欲知当实际上「1-21=0.30N时，原假设μ,=μ2未被拒绝的概率β。↓ μ1 - μ2 [ = 0. 30

0.33=0.1476

1μ-μ21

由图1中V=的曲线查得100β=47，故B=0.47（或47%）。4.5.2使用方认为上述8值过高，欲选取一个适当大小的样本，使得当！μ，一μ2「=0.30时β值降低到0.10（或10%）。

A1μμ2 L

由图3中8=0.10的虚直线查得n=26。0.33

5两个均值的比较（方差均未知，但有理由认为相等或近似相等）参考GB4889—85的表6

5.1符号

总体1

样本大小

方差（近似值）

自由度

两个样本均值之差的标准差

5.2检验的假设

总体2

V= ni+nz- 2

(α_=2)

GB 4890—85

对于双侧检验，原假设为μ，=μ2，备择假设为μ,丰μ2。对于单侧检验：

原假设为μ，备择假设为,>μ2

或者，

原假设为μz，备择假设为μ20

5.3问题1

5.3.1给定n,和n2，确定β

对于双侧检验或单侧检验，当给出μ和2值时，首先按下式计算参数的值：a= lu μ2 /

然后使用下列各相应的曲线图：图1均值比较的双侧检验的操作特性曲线（「类风险α=0.05）

均值比较的双侧检验的操作特性曲线图4

（I类风险α=0.01）

均值比较的单侧检验的操作特性曲线图7

（I类风险α=0.05）：

图10均值比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01）

β为自由度v=n +n22的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。5.3.2给定n，+n2（=2n），确定β此时

[n/μ,μ2]

5.4问题2给定β，确定n,与n2的公共大小n对于双侧检验或单侧检验，当给出,和μ2值时，首先按下式计算参数入的值：μ-μ2

然后使用下列各相应的曲线图

两个均值比较的双侧检验所需样本大小的曲线图3

（I类风险α=0.05）

两个均值比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

两个均值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

图12两个均值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（1类风险α=0.01）

n为给定β值的曲线上，横坐标为的点的纵坐标。5.5例

与4.5中的例相同，但使用方不知道棉纱强力标准差的精确数值，仪知两批棉纱强力的标准差可能相同，即2

5.5.1使用方从T.艺不同的两批棉纱中，分别抽取10个管纱进行观察，欲知当实际上「μ，一μ2！=0.30N时，原假设μ=μ2未被拒绝的概率β。根据对两个样本进行观察的结果得：212

GB 4890—85

第—批： X = 2.176, Z (X1; - X)2 =1.2563,第二批：X2= 2.520，Z(Xz:- X)2=1.3897。参考GB488985的表11，经过检验，没有理由拒绝α=α。两批棉纱强力的共同方差？的估计值为S2 =

1.2563+1.3897

10+10-2

如果取置信水平1～α=0.95，则α2的上置信限为2.6460

Xo.0s (18)

=0,1470

（参考GB4889-85的表10）因此α超过αu=/0.2818=0.53的可能性很小。100.30

[μ-μz

二 1,27

在图1中，用插值法可见=18，^=1.27时，100β相应的值约为80。所以在入=这种不利情形下，原假设4，=42未被拒绝的概率约为0.805.5.2使用方认为上述B值过高，欲选取一个适当大小的样本，即使在α=0u=0.53的不利情形下，使得当1μ一μz1=0.30时8值不超过0.20（或20%）。[ μi - μ2

由图3中β=0.20的曲线查得n=49。方差或标准差与给定值的比较

参考GB4889-85的表9

6.1符号

n，样本大小，

α\，总体方差（α：总体的标准差）au

α：方差的给定值（αo：标准差的给定值）。6.2检验的假设

对于双侧检验，原假设为？=，备择假设为2。对于单侧检验：

原假设为？，备择假设为>

或者，

原假设为2>，备择假设为2<。

当给出α值时，首先按下式计算参数入的值：然后使用下列各相应的曲线图。6.8问题1给定n，确定β

适于上述各种不同情形使用的曲线图有：qo

图13方差与给定值比较的双侧检验的操作特性曲线（1类风险α=0.05），

方差与给定值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.01）

GB 4890--85

方差与给定值比较的单侧检验的操作特性曲线图17

（原假设为2，1类风险α=0.05）方差与给定值比较的单侧检验的操作特性曲线图19

（原假设为2，类风险α=0.01）图21

方差与给定值比较的单侧检验的操作特性曲线（原假设g2α，类风险α=0.05）图23

方差与给定值比较的单侧检验的操作特性曲线（原假设为2≥，1类风险=0.01）β为给定n值的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。6.4问题2给定B，确定n

适于上述各种不同情形使用的曲线图有：图14

方差与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

方差与给定值比较的双侧检验所需样本大小的曲线图16

（类风险α=0.01）

方差与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（原假设为2，I类风险α=0.05），方差与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线图20

（原假设为α2，类风险α=0.01）方差与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线图22

（原假设为g2；1类风险α=0.05）！图24方差与给定值比较的单侧检验所需样本大小的曲线（原假设为2≥，I类风险α=0.01）n为给定β值的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。6.5例

某棉纺厂原来棉纱强力的标准差α=0.45（α=0.2025）。在改进工艺后，声称棉纱强力的离散程度降低了，使用方准备购进这种产品，但希望当产品质量实际上并无改进时，错误地接受这种产品的风险要小。为此决定以α2≥㎡=0.2025为原假设，取I类风险α=0.05，进行单侧检验。6.5.1使用方从采用新工艺所生产的一批棉纱中抽取12个管纱进行观察。欲知当标准差实际上降低到g=0.30而原假设g>0.45未被拒绝的概率8。a

由图21中=12的曲线查得1008值约为51，故B值约为0.51（或51%）。6.5.2使用方认为上述β值过高，欲选取--个适当大小的样本，使得当α0.30时β值降低到0.10（或10%）。

由图22中8=0.10的曲线查得n=29。7两个方差或两个标准差的比较

参考GB 4889-85的表11

本标准仅对两个样本大小相同的情形给出检验的操作特性曲线。7.1符号

g：总体1的方差（α，为总体1的标准差）214

GB 4890--85

α：总体2的方差（α2为总体2的标准差），ni=n：样本1的大小，

n2=n：样本2的大小。

7.2检验的假设

对于双侧检验，原假设为=，备择假设为。92

当备择假设为时

当备择假设为时，

对于单侧检验：

°）决定，或者，

。原假设为，备择假设为，由参数=q2

b．原假设为，备择假设为，由参数=7.3问题1给定n，确定β

适于上述各种不同情形使用的曲线图有：图25两个方差比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05），

两个方差比较的双侧检验的操作特性曲线图27

（I类风险α=0.01）

两个方差比较的单侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）

两个方差比较的单侧检验的操作特性曲线图31

（I类风险α=0.01）

β为给定n值的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。7.4问题2给定β，确定n

适于上述各种不同情形使用的曲线图有：图26两个方差比较的双侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05），

两个方差比较的双侧检验所需样本大小的曲线图28

（I类风险α=0.01）

两个方差比较的单侧捡验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.05）

两个方差比较的单侧检验所需样本大小的曲线（I类风险α=0.01）

n为给定β值的曲线上，横坐标为入的点的纵坐标。7.5例

决定。

某棉纺厂向使用方提供两批棉纱。生产方声称1号批的强力的离散程度较低，因而价格稍高。如果的确如此，使用方准备采用1号批。使用方希望当实际上α，≥α2时错判为，α2的风险要小。为此决定以α≥为原假设，取I类风险α=0.05，进行单侧检验。7.5.1使用方从每批抽取20个管纱进行观察，当实际上01率8。

2时原假设,未被拒绝的概

GB489085

在图29中，用插值法可见n=20，入=1.5时，100相应的值约为48，故β约为0.48（或48%）。92

=1.5时8值降

使用方认为上述β值过高，欲从每批选取一个适当大小的样本，使得当

低到0.10（或10%）

由图30中B=0.10的曲线查得n=55。8

曲线图

GB 4890—85

a。检验μ= μo

如果已知o，利用=e的曲线，。！如果未知g。利用=n－1的曲线，b.检验μr-u2

如果已知a,和，利用v=的曲线，Avh lμHo l.

μ-μ

如果o，=α2=a而未知，利用=n，+n2-2的曲线Iμi- μ2

图1均值比较的双侧检验的操作特性曲线（I类风险α=0.05）100(1 - 8)

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