GB 4086.1-1983 统计分布数值表 正态分布

GB 4086.1-1983 统计分布数值表 正态分布的部分内容

中华人民共和国国家标准

统计分布数值表

正态分布

Tables for statistical distributionsNormal distribution

UDC 311.13(083.5)

GB 4086.1--83

本标准包括统计学中常用的正态分布的三种数值表，它们的名称、表距和精度如下：正态分布密度函数表

正态分布函涵数表

正态分布分位数表

u=0 (0.01)4.99

u=0 (0.01)4.99

p=0.5(0.001)0.999

6位小数

6位小数

6位小数

本标准所指的正态分布是标准正态分布。表中的分位数对应于下侧概率。虽然表中给出6位小数，但是在使用中需要取几位，要由实际问题决定。在应用中不能满足要求时，可参考附录的处理方法。国家标准局1983-1221发布

1984~1001实施

正态分布密度函数表

133383

381388

352069

194186

110921

1398922

390242

310060

287369

191860

0147639

0,000191

.000015

398862

285034

189543

145564

125665

107406

0+063157

000271

000015

GB 4086.1—83

398763

346668

282694

258881

234714

143505

123763

089333

026426

002165

.000079

000014

398623

344818

232297

162555

121878

103961

.009347

.000076

8:000005

本表对于u给出正态分布密度函数中（u）的数值。例：对于u=3.08，中（u）=0.003475。0.05

398444

342944

120009

.059595

.031740

上要变

203571

118157

084776

.000070

.000005

397966

393219

318737

178104

1001364

000681

397668

270864

198863

114505

068144

.014305

006307

397330

369728

31443:

292004

268477

196520

173602

151853

884930

.977250

995339

996533

997445

999032

999767

999892

999928

999987

999991

.999998

000000

791030

886861

986447

989556

998193

999065

999896

999980

999987

.999999

587064

793892

922196

996736

997599

999933

9Q9971

999988

999992

999997

999998

1590954

629300

966375

8:990099

999381

999566

999792

999858

999936

999982

999988

594835

770350

925066

959070

994457

Q:996928

999155

1999938

999983

.999989

8:999998

本表对了u给正态分布丽数中（u的数值。例：对u-1.33，Φ（u）=0.908241。91

598706

911492

939429

950529

967843

994614

.995975

997020

.999596

.999720

.999807

745373

.876976

.940620

980301

984614

988089

090863

994764

999211

299443

999961

999999

.644309

8:991166

751748

899727

930563

942947

：999481

.754903

917754

981691

985758

0:996427

997365

998074

999758

0.3999986

正态分布分位数表

100434

279319

1305481

358459

385320

524401

674490

706303

738847

994458

136431

.405072

475791

.644854

750686

\2du-p

027576

230118

255936

281926

334503

0 361133

0498687

527279

556308

585815

677640

742144

.919183

040732

131131

231864

762410

055174

156042

258527

.530161

712751

745450

135896

GB 4086.1--83

082813

158580

339809

562170

926859

.29883

1359463

1-425544

674665

035100

110516

.263714

535940

565108

365808

589268

2:144411

512144

本装对了下侧概率p给出止态分布的分位数up。例：对于p0.95，up=1.644854。p1.5时，up-

。例：

与双侧概率α相应的分位数为u

0. 510073

755415

11439531

170090

1.281552。

Q:428895

0512930

.541737

725737

938476

.378659

1446632

706043

825007

197286

092879

271508

404289

530068

995393

对 -α= 0.05, u1 -4 2 = uu.375 - 1.959964例：

Q:57691

765456

.870550

461056

538199

625763

.727934

852180

.097915

199336

250760

.276714

329206

355787

.382622

.409735

:493018

0:579873

.703089

735558

768820

838055

874217

911561

990356

.07583

170002

.398377

.546433

635234

739198

866296

GB4086.1—83

附录A

计算方法

（参考件）

这给出本标准三种数值表的计算方法。在本标准所列数表不能满足要求时，可参号这些算法及附录B的程序进行计算，或者使用插值方法作粗略计算。A.1定义与记号

本标准所指的止态分布是标准正态分布，其密度函数是b（u）

分布函数是

Φ(u）=

写下侧概率p对应的分位数up满足如下方程：1

A.2计算方法

(u)du。

du=p，

(up)-=0。

A.2.1正态分布密度函数的计算

真接按定义计算。

A，2.2正态分布函数的计算

用连分式遥近：

当03时有

当u3时有

r1-G（u)，当u≥0,

G(uj),

当uo。

式的精度取决于实际计算时连分式的项数。A.2.3正态分布分位数的计算

GB4086.1—83

使用A.3的选代方法计算，初始值由下式给出：up= sign(p-

y(2.0611786

y=-ln[4p(1-p)]。

上式的相对误差小于4.9×10-4。A.3分位数的选代计算

5.7262204

y+11.640595),

首先，寻找一个分位数的近似公式，并据此算出与下侧概率p对应的分位数。作为初始值。其次，根据分位数所满足的方程，使用基于二阶台劳（Taylor）展开的迭代求根法算出精度较高的分位数。过程如下：

为方便，把分位数所满足的方程记为F(r)=0,

r=ro +。

在附近对F（α)作二阶台劳展开0=F(α) =F(αa+△)

F(co) + F(xo)A+ F\(o)-

解之得

或等价地有

-F(xo)±V(F(x0))?-2F(ro)F\(ao)F\(co)

2F(ro)

F(xo)FV(F(2o))?-2F(xo)F\(ro) 由问题的意义，4只应取实根。因此当根号内取负值时，改令F(αo)

或等价地

F\(ro），

-2F(αo)

F(αo)

此外，根号的正负号选择应保证△|较小。亦即当F（α）>0时，式中分子的根号取正（或分母根号取负)；当F（α)<0时，4式中分子的根号取负（或分母根号取正）。求出4后，用+代替原来的o，重复上述过程，直至「△1小于允许误差。97

B.1说明

GB 4086.1--83

附录B

计算程序

（参考件）

这里给出用于本标准实际计算的两个FORTRAN语言了程序。它们是NORFD：用于计算正态分布的分布函数，NORXD：用于计算正态分布的分位数。程序使用的计算方法见附录A，

虽然本标准印出的数表只取6位小数，但程序的计算精度通常可达10~10程序

SUBROUTINE NORFD(U.P)

DOUBLE PRECISION U,P

** PURPOSE **

DISTRIBUTION FUNCTION OF NORMAL DISTRIBUTION** ARGUMENTS **

ON ENTRY

NORMAL DEVIATE

ON RETURN

LOWER PROBABILITY

** REQUIRED ROUTINES **

** ALGORITHM **

FOR NEGATIVE U

P(U) = PP(ABS(U)),

FOR NON-NEGATIVE U

P(U) = 1 - PP(U),

FOR U.GT.3

PP(U) = EXP(-U**2/2)/SQRT(2*PAI)*(1/U.+.1/U,+.2/U.+.+.k/U.+..+.).

NORF0001

NORF0002

NORF0003

NORF0004

NORFO005

NORF0006

NORF0007

NORF0008

NGRF0009

NORFO010

NORF0011

NORFO012

NORF0013

NORF0014

NORF0015

NORF0016

NORF0017

NORF0018

NORF0019

NORF0020

NORF0021

NORF0022

NDRF0023

NORF0024

(1) NORFO025

FOR U.GE.0 AND U.LE.3

PP(U)= 0.5 - EXP(-U**2/2)/SQRT(2*PAI)*(U/1.-.U**2/3.+。2*U**2/5..3*U**2/7.+.*.).

WHERE.+. AND.-. DENOTE CONTINUED FRACTIONINTEGER K

DOUBLE PRECISION Y.Y2,Z.FJ,S,BDATA K/28/S/~1.0D0/，B/3.000/Y = BABS(U)

Y2 = Y*Y

Z DEXP(-0.5D0*Y2)*0.39894228040143267800P = 0.0DO

IF(Y.LE.B)GO TO 20

NORF0026

NORF0027

(2) NORF0028

NORF0029

NORF0030

NORFO031

NORF0032

NORF0033

NORFO034

NORF0035

NORF0036

NORF0037

NORF0038

NORFC039

NORFO040

NORF0041

NORF0042

GB4086.1-83

FORMULA (1) IS EMPLOYEO FOR LARGE UDO 10 I=1.K

P = FJ/(Y + P)

FJ = FJ - 1.0D0

CONTINUE

P = Z/(Y

GO TO 40

20 CONTINUE

FORMULA (2) IS EMPLOYEO FOR SMALL U00 30 1 = 1.K

P = FJ*Y2/(2.0DO*FJ + 1.0D0 + S*P)s=s

FJ FJ －

CONTINUE

Z*Y/(1.000- P)

P = 0.500 -

40 CONTINUE

IF(U.GT. 0.0DO) P = 1.ODO~P

RETURN

NDRF0043

NORFO044

NORF0045

NORF0046

NORF0047

NORF0048

NORF0049

NORF0050

NORF0051

NORF0052

NORF0053

NORF0054

NORF0055

NORF0056

NDRI0057

NURF0058

NORF0059

NURFC060

NORF0061

NORF0062

NORI0063

NORF0064

NORF0065

NURF0066

GB 4086.1-83

SUBROUTINE NORXO(P,EPS.U,IER)INTEGER IER

DOUBLE PRECISION P,EPS,U

** PURPOSE **

PERCENTAGE POINT OF NORMAL DISTRIBUTION** ARGUMENTS **

ONENTRY

ON RETURN

LOWER PROBABILITY

REQUIRED PRECISION

PERCENTAGE POINT

ERROR PARAMETER

IER.NE.O INDICATES P.LE.O OR P.GE.1** REQUIRED ROUTINES **

DISTRIBUTION FUNCTION OF NORMAL DISTRIBUTION** ALGORITHM **

FOR P=O.5,

FOR P,NE.O.S, HITOTUMATU-S ITERATION METHOD IS USEO.INITIAL VALUE IS CALCULATED BY YAMAUTI-S FORMULA,U(P) = C*SQRT(Y*(2.0611786-5.7262204/(Y+11.640595))),WHERE

Y = -ln(P*(1-p)*4),

FOR P.GT.0.5,

C = 1,

C =-1,

FOR P.Lt.0.5.

INTEGER MN

DOUBLE PRECISION R.PP.ROOT.Y,DENS,DDENSIER 0

IF

U = 1.009*DSIGN(1.000,P-0.500)GOTO40

10O CONTINUE

IF (P .NE. 0.5DO) GO TO 20

U = 0.0DO

GOTO40

2O CONTINUE

INITIAL VALUE

Y ± -DL06(P*(1.0D0-P)*4.000)U ± DSQRT(Y*(2.0611786D0-5.7262204DO/(Y+11.640595D0)))IF P ,LT、0.500) U = -U

ITERATION

30DENS=DEXP(-0.500*U*U)*0.398942280401432678D0DDENS = U*DENS

CALL NDRFD(U,PP)

R = 2.0DO*(P - PP)

NORXO001

NORX0002

NORX0003

NORX0004

NORX0005

NORX0006

NORX0007

NORX0008

NORX0009

NORXO010

NORX0011

NORX0012

NORX0013

NORX0014

NORX0015

NORX0016

NORXQ017

NORX0018

NORX0019

NORX0020

NORX0021

NORX0022

NORX0023

NORX0024

NDRX0025

NORX0026

NORX0027

NORX0028

NORX0029

NORX0030

NORXQ031

NORX0032

NORX0033

NORX0034

NORX0035

NRX0036

NORX0037

NORX0038

NORX0039

NORX0040

NORX0041

NORX0042

NORX0043

NORX0044

NORX0045

NORXQ046

NORX0047

NORX0048

NORX0049

NORX0050

NORX0051

NORXO052

NORX0053

NORX0054

NORX0055

NORX0056

NORX0057

NORX0058

NORX0059

NORX0060

NORX0061

NORX0062

附加说明：

GB 4086.1--83

ROOT= DENS**2-R*DDENS

IF（ROOT.LE.O.ODO）R=DENS/DDENSIF (RODT .GT. 0.ODO) R = R/(DENS + DSQRT(ROOT))ＵＵ+Ｒ

MN = MN +1

IF（MN.EQ.10）GOTO40

IF(DABS(R).GT.EPS)GOTO30

4O CONTINUE

RETURN

本标准出全调统计方法应用标准化技术委员会提出。NORX0063

NORX0064

NORX0065

NORX0066

NORX0067

NORX0068

NORX0069

NORX0070

NORX0071

NORX0072

本标准用全国统计方法应用标准化技术委员会术语、符号和统计用表分委员会工作组起草。木标准士要起草人杨白强、魏公毅。191

北检院检验检测中心能够参考《GB 4086.1-1983 统计分布数值表 正态分布》中的检验检测项目，对规范内及相关产品的技术要求及各项指标进行分析测试。并出具检测报告。

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